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题解

53 条题解

  • 2
    @ 2008-10-22 08:52:50

    道试题的数学性质很强，关键点在于“一个数与其约数”的关系。在设计算法之前，我们不妨先对“一个数与其约数”进行一番简单的分析。

    先举个简单的例子，求一个数756的约数总个数。

    大家都知道先将756分解质因子，得到756=22×33×71，再把三个指数加一连乘就是756约数的总个数[1]：(2+1)×(3+1)×(1+1)=24。

    在本题中，所要求的是[1,N]范围内最大的反质数，实际上也就是要求约数个数最多的那个数[2]。那么，一个数最多会有多少个不同的质因子呢？最多又会有多少个约数呢？

    粗略估算：2×3×5×7×11×13×17×19×23×29=6469693230>2×109。所以，我们就得到了一个很重要的性质：

    性质一：在[1,2×109]中，一个数最多有10个不同的质因子。

    根据经验，一个正整数N，其约数个数是 级的[3]。因此，我们又可以得到另一个重要性质：

    性质二：在[1,2×109]中一个数其约数个数大致也就是104~105级别[4]。

    这两个性质虽然是通过估算得出的，但其正确性是无庸质疑的。在以后的算法设计中，这两个性质将起着举足轻重的作用。

    再回头看对正整数756的分析：756=22×33×71­，共有24个约数。那么它是否是一个“反质数”呢？显然，我们可以构造出另一个正整数，也有24个约数，却比756要小：540=22×33×51。

    构造反例的原理在于，756的质因子2、3、7不是连续的质数，漏了5，用5代替7，而指数不变就可以构造出一个更小的但有着相同约数个数的正整数。因此，我们又得到了一个关于“反质数”的性质：

    性质三：一个反质数的质因子必然是从2开始连续的质数。

    分析至此，对“一个数和其约数”，“反质数”我们已有了初步的了解，并且大致掌握了一些基础性质。下面，在这些分析的基础上，我们开始尝试着设计一个时间效率上能够被接受的算法。

    算法设计

    由于题目中N的范围很大——有2×109，所以想通过求出每个数约数的个数，最后通过统计找出最大的反质数，这种方法效率很低，是不现实的。我们必须另辟蹊径。

    在[1, 2×109]中有很多数显然不是“反质数”，在先前的分析中，性质三就充分说明了这一点。

    根据题目对“反质数”的定义，我们知道，不可能有两个反质数，其约数个数相同。那么，根据性质二，“反质数”的个数将远远小于2×109，而只是104到105级别。这样一来，我们就可以考虑直接产生所有的“反质数”，再从中找出最大的。

    在先前的题意分析中，我们知道：“反质数”与一个数的约数总数，质因子总数都有着莫大的联系，不妨将这个因素放在一起。

    设f(i,j)记录的是：约数总数为i，有j个不同的质因子的最小正整数。

    显然，所有的“反质数”都出自f(i,j)。如果能计算出所有f(i,j)，那么只要在其中扫描一遍，就可以得到问题的解了。现在的问题就转化成如何快速求出f(i,j)。

    还是举个简单例子，假设f(12,3)=60，60=22×31×5。因此，f(6,2)一定为12，若f(6,2)小于12，我们可以用f(6,2)×5来代替原来f(12,3)中60的值。这正是关于f(i,j)的最优化原理——因此，可以用动态规划来求解！

    经过上述分析，问题被揭开了神秘的面纱，顺着动态规划线索，我们可以从容的写出以下结论：

    l 状态表示：

    f(i,j)记录“约数总数为i，有j个不同的质因子的最小正整数”。

    l 边界条件：

    f(1,0)=1

    l 状态转移方程：

    假设p( j )记录的是第j大的质数。

    f(i,j)=max of {f(i/k+1,j-1)*p^k(j)} 其中i mod (k+1)=0,p^k(j)

  • 1
    @ 2018-11-04 01:23:09

    打表出奇迹
    cpp
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    int ans[]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360,2001000000};
    int main()
    {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i;i++)
    {
    if(ans[i]>n)
    {
    printf("%d",ans[i-1]);
    return 0;
    }
    }
    return 0;
    }

  • 1
    @ 2016-08-30 15:54:10

    水
    var
    i:longint;
    p:array[1..11]of integer=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31);
    n,ans,kans:qword;
    function min(a,b:qword):qword;
    begin
    if a>b then exit(b)
    else
    exit(a);
    end;
    procedure dfs(x,y:longint;v,z:qword);
    var
    tmp:int64;
    begin
    if v>n then exit;
    if z>=kans then begin
    if kans=z then
    ans:=min(ans,v)
    else
    ans:=v;
    kans:=z;
    if v=n then exit;
    end;
    tmp:=1;
    for i:=1 to x do begin
    tmp:=tmp*p[y];
    dfs(i,y+1,v*tmp,z*(i+1));
    if tmp>n then break;
    end;
    end;
    begin
    read(n);
    dfs(100000,1,1,1);
    write(ans);
    end.

  • 1
    @ 2009-10-14 17:57:09

    话说这道题不大对……应该是输出最小的n以内含有最多因数的反质数。害的我WA掉了。。3次才AC够猥琐的。。。

    还有就是为啥爆搜过不了呢？

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案错误...　├ 标准行输出 13967...

    　├ 错误行输出 14702...

    ├ 测试数据 02：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 03：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 04：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 05：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 06：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 07：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 08：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 09：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 10：答案正确... 56ms

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Unaccepted 有效得分：90 有效耗时：56ms

    （我是sunny）

    。。。囧是不是数据错了。。。事实上爆搜是可以的……

    好猥琐的题目啊。。最后一个点还是cheat吧……

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 02：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 03：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 04：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 05：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 06：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 07：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 08：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 09：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 10：答案正确... 0ms

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Accepted 有效得分：100 有效耗时：0ms

    （Orz Puppy）

    好了。。。AC了……虽然不是挂表但是一样秒杀。。。

    讲一下做法吧……很简单，爆搜指数……

    对于一个数n如果n=p1^q1*p2^q2*……*pk^qk

    其中pi(0=q3>=q4>=……>=qk

    然后爆搜解决……

    由于是这样的，2*3*5*7*11*13*17*23*29*31>2*10^9，所以最多用到这些质数。

    好了一共9-10个质数，爆搜就可以了。。。

    Orz linshutan神牛的DP。。。

    • @ 2015-08-23 22:39:56

      大牛啊

    • @ 2016-05-07 16:33:58

      可以置顶的。。。不用打表真好。。。
      （之前不知到原理弱渣补一句：可以用数学归纳法证明结论。。。）

  • 0
    @ 2017-05-08 12:33:31 
    /*
数论题表示不懂
就直接贴个搜索的程序？
不要打表啊rp--
*/
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int prime[16]= {1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47};
long long ans=888888888888888,n;
int bestsum;

void work(long long num,int sum,int k)
{
    if(sum>bestsum)
    {
        bestsum=sum;
        ans=num;
    }
    else if(sum==bestsum&&num<ans)
    {
        ans=num;
    }
    else if(sum<bestsum&&num>ans)return;
    if(k>15)return;
    long long total=num;
    for(int i=1;i<=50;i++)
    {
        if(total*prime[k]>n)break;
        total*=prime[k];
        work(total,sum*(i+1),k+1);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    work(1,1,1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
  • 0
    @ 2015-09-27 17:02:02

    ###并不需要打表啊！
    记录信息
    评测状态 Accepted
    题目 P1172 反质数
    递交时间 2015-09-27 16:59:46
    代码语言 C++
    评测机 VijosEx
    消耗时间 38 ms
    消耗内存 516 KiB
    评测时间 2015-09-27 16:59:47
    评测结果
    编译成功

    foo.cpp: In function 'int main()':
    foo.cpp:29:17: warning: unknown conversion type character 'l' in format [-Wformat=]
    scanf("%lld",&n);
    ^
    foo.cpp:29:17: warning: too many arguments for format [-Wformat-extra-args]
    foo.cpp:31:25: warning: unknown conversion type character 'l' in format [-Wformat=]
    printf("%lld\n",bestnum);
    ^
    foo.cpp:31:25: warning: too many arguments for format [-Wformat-extra-args]
    测试数据 #0: Accepted, time = 3 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #1: Accepted, time = 0 ms, mem = 516 KiB, score = 10
    测试数据 #2: Accepted, time = 3 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #3: Accepted, time = 0 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #4: Accepted, time = 5 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #5: Accepted, time = 15 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #6: Accepted, time = 0 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #7: Accepted, time = 9 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    测试数据 #8: Accepted, time = 1 ms, mem = 516 KiB, score = 10
    测试数据 #9: Accepted, time = 2 ms, mem = 512 KiB, score = 10
    Accepted, time = 38 ms, mem = 516 KiB, score = 100
    代码
    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    using namespace std;
    const int prime[16]= {1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47};
    long long bestnum=888888888888888,n;
    int bestsum;

    void work(long long num,int sum,int k)
    {
    if(sum>bestsum){
    bestsum=sum;
    bestnum=num;
    }
    else if(sum==bestsum&&num<bestnum){
    bestnum=num;
    }
    else if(sum<bestsum&&num>bestnum)return;
    if(k>15)return;
    long long total=num;
    for(int i=1;i<=50;i++){
    if(total*prime[k]>n)break;
    total*=prime[k];
    work(total,sum*(i+1),k+1);
    }
    }
    int main()
    {

    scanf("%lld",&n);
    work(1,1,1);
    printf("%lld\n",bestnum);
    }

  • 0
    @ 2013-10-30 21:20:59

    打表— —

  • 0
    @ 2013-10-04 00:54:31

    记录信息
    评测状态 Accepted
    题目 P1172 反质数
    递交时间 2013-10-04 00:53:28
    代码语言 C
    评测机 VijosEx
    消耗时间 0 ms
    消耗内存 448 KiB
    评测时间 2013-10-04 00:53:29

    评测结果
    编译成功

    测试数据 #0: Accepted, time = 0 ms, mem = 440 KiB, score = 10

    测试数据 #1: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    测试数据 #2: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    测试数据 #3: Accepted, time = 0 ms, mem = 448 KiB, score = 10

    测试数据 #4: Accepted, time = 0 ms, mem = 436 KiB, score = 10

    测试数据 #5: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    测试数据 #6: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    测试数据 #7: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    测试数据 #8: Accepted, time = 0 ms, mem = 440 KiB, score = 10

    测试数据 #9: Accepted, time = 0 ms, mem = 444 KiB, score = 10

    Accepted, time = 0 ms, mem = 448 KiB, score = 100

    代码
    #include <stdio.h>
    int main (){
    long n;
    int i;
    scanf ("%ld",&n);
    long a[68]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360};
    if (n>1396755360)
    {printf ("1396755360\n");return 0;}
    for (i=0;i<68;i++)
    {if (a[i]>n)
    {if (n<=0) {printf ("\n");break;}
    else
    {printf ("%ld\n",a[i-1]);break;}
    }
    }
    return 0;
    }
    终于OK了!
    从11:25到0:54^_^

  • 0
    @ 2013-10-04 00:50:28

    测试数据 #0: WrongAnswer, time = 0 ms, mem = 532 KiB, score = 0

    ?????

  • 0
    @ 2013-10-04 00:49:51

    评测结果
    编译成功

    测试数据 #0: WrongAnswer, time = 0 ms, mem = 532 KiB, score = 0

    测试数据 #1: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #2: Accepted, time = 0 ms, mem = 544 KiB, score = 10

    测试数据 #3: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #4: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #5: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #6: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #7: Accepted, time = 0 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    测试数据 #8: Accepted, time = 0 ms, mem = 532 KiB, score = 10

    测试数据 #9: Accepted, time = 15 ms, mem = 540 KiB, score = 10

    WrongAnswer, time = 15 ms, mem = 544 KiB, score = 90

    代码
    #include <stdio.h>
    int main (){
    long n;
    int i;
    scanf ("%ld",&n);
    long a[68]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360};
    for (i=0;i<68;i++)
    {if (a[i]>n)
    {if (n==0) {printf ("0\n");break;}
    else
    {printf ("%ld\n",a[i-1]);break;}
    }
    }
    return 0;
    }
    #1是什么?

  • 0
    @ 2013-07-27 17:50:18

    var n,i:longint;
    a:array[0..68]of longint;
    begin
    readln(n);
    a[1]:=1;
    a[2]:=2;
    a[3]:=4;
    a[4]:=6;
    a[5]:=12;
    a[6]:=24;
    a[7]:=36;
    a[8]:=48;
    a[9]:=60;
    a[10]:=120;
    a[11]:=180;
    a[12]:=240;
    a[13]:=360;
    a[14]:=720;
    a[15]:=840;
    a[16]:=1260;
    a[17]:=1680;
    a[18]:=2520;
    a[19]:=5040;
    a[20]:=7560;
    a[21]:=10080;
    a[22]:=15120;
    a[23]:=20160;
    a[24]:=25200;
    a[25]:=27720;
    a[26]:=45360;
    a[27]:=50400;
    a[28]:=55440;
    a[29]:=83160;
    a[30]:=110880;
    a[31]:=166320;
    a[32]:=221760;
    a[33]:=277200;
    a[34]:=332640;
    a[35]:=498960;
    a[36]:=554400;
    a[37]:=665280;
    a[38]:=720720;
    a[39]:=1081080;
    a[40]:=1441440;
    a[41]:=2162160;
    a[42]:=2882880;
    a[43]:=3603600;
    a[44]:=4324320;
    a[45]:=6486480;
    a[46]:=7207200;
    a[47]:=8648640;
    a[48]:=10810800;
    a[49]:=14414400;
    a[50]:=17297280;
    a[51]:=21621600;
    a[52]:=32432400;
    a[53]:=36756720;
    a[54]:=43243200;
    a[55]:=61261200;
    a[56]:=73513440;
    a[57]:=110270160;
    a[58]:=122522400;
    a[59]:=147006880;
    a[60]:=183783600;
    a[61]:=245044800;
    a[62]:=294053760;
    a[63]:=367567200;
    a[64]:=551350800;
    a[65]:=698377680;
    a[66]:=735134400;
    a[67]:=1102701600;
    a[68]:=1396755360;
    for i:=68 downto 1 do if n>=a[i] then break;
    writeln(a[i]);
    end.
    秒杀！爽！！只是列表列了半天……

  • 0
    @ 2009-11-03 17:43:47

    一次AC乌啦啦，以前没咋搞懂这种题咋回事。现在却觉得这题越来越来水，于是会今天就把这题给水了。

    ---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|--

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案正确... 0ms

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    ├ 测试数据 03：答案正确... 0ms

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    ├ 测试数据 10：答案正确... 0ms

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Accepted 有效得分：100 有效耗时：0ms

    const

    num:array[1..10]of longint=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29);

    maxnum=2000000000;

    var

    i,n,max,min:longint;

    lim:array[0..11]of longint;

    f:array[0..30,0..32]of longint;

    function get(a,m:longint):longint;

    begin

    if f[a,m]min)and(b10 then

    begin

    if (b>max)or((b=max)and(a

  • 0
    @ 2009-09-20 11:45:54

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 02：答案正确... 0ms

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    ├ 测试数据 10：答案正确... 0ms

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Accepted 有效得分：100 有效耗时：0ms

    var a:array[1..68]of longint=(1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,

    1680,2520,5040,7560,

    10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,

    221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,

    2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,

    21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,

    147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,

    735134400,1102701600,1396755360);

    i,n:longint;

    begin

    readln(n);

    for i:=1 to 68 do

    if a[i]>n then

    begin

    writeln(a);

    halt;

    end;

    writeln(a[68]);

    end.

    Flag 　　 Accepted

    题号 　　P1172

    类型(?) 　　数论 / 数值

    通过 　　457人

    提交 　　1010次

    通过率 　　45%

    难度 　　3

    打了一个小时的表,终于出解

  • 0
    @ 2009-09-17 20:40:14

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案正确... 0ms

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    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Accepted 有效得分：100 有效耗时：0ms

    快速幂+DP

    我竟然一次就AC了啊！！！！！

    人品大爆发！！！！！！！！！！！！

  • 0
    @ 2009-09-07 21:32:03

    program p1172;

    const

    chart : array[1..69] of int64=

    (1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,

    1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,

    50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,

    554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,

    4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,

    21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,

    122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,

    551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360, 20000000001);

    var

    n,i:longint;

    begin

    readln(n);

    for i:=1 to 69 do if chart[i]>n then

    begin

    writeln(chart);halt;

    end;

    end.

    交表万岁

  • 0
    @ 2009-08-18 20:20:46

    推荐：

    http://dfs35123.spaces.live.com/blog/cns!A6CB032EC0980F16!304.entry

    {有表又有标程}第440人？！不吉利。。。

  • 0
    @ 2009-07-30 10:20:45

    虽然有公式，但搜搜太烦，容易错，那表我运行了好久，终于诞生了。

    交上去毫无悬念地过了。

  • 0
    @ 2009-07-20 21:18:45

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 02：答案正确... 0ms

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    ├ 测试数据 08：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 09：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 10：答案正确... 0ms

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Accepted 有效得分：100 有效耗时：0ms

    交表就是过瘾！！！

    const a : array[1..68] of longint = ( 1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,

    180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,

    10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,

    166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,

    2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,

    21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,

    245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360);

    var

    n,i,k:longint;

    begin

    readln(n);

    if (1396755360 < n) and (2000000000 >= n) then writeln('1396755360')

    else

    begin

    for i:= 1 to 68 do if a[i] > n then break;

    writeln(a);

    end;

    end.

  • 0
    @ 2009-07-17 08:37:56

    爆搜没有好下场-_-！

    编译通过...

    ├ 测试数据 01：运行时错误...| 错误号: 202 | 堆栈溢出错

    ├ 测试数据 02：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 03：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 04：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 05：答案正确... 0ms

    ├ 测试数据 06：答案正确... 478ms

    ├ 测试数据 07：运行超时...

    ├ 测试数据 08：运行超时...

    ├ 测试数据 09：运行时错误...| 错误号: 202 | 堆栈溢出错

    ├ 测试数据 10：运行时错误...| 错误号: 202 | 堆栈溢出错

    ---|---|---|---|---|---|---|---|-

    Unaccepted 有效得分：50 有效耗时：478ms

  • 0
    @ 2009-07-08 23:38:48

    沙茶题留名……

    这种题就是用来练习交表的……

反质数

信息

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1172
难度
4
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其他 | 数学 点击显示
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