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「CSP2019 T」格雷码

「CSP2019 T」格雷码

背景

  • Idea: CCF
  • Data: CCF
  • Solution: CCF
  • 题面: CCF + oistream

描述

通常,人们习惯将所有 \(n\) 位二进制串按照字典序排列,例如所有 \(2\) 位二进制串按字典序从小到大排列为: 00011011

格雷码(Gray Code)是一种特殊的 \(n\) 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间 恰好 有一位 不同 ,特别的,第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 \(2\) 位二进制串按格雷码排列的一个例子为: 00011110

\(n\) 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:

  1. \(1\) 位格雷码由两个 \(1\) 位二进制串组成,顺序为:01
  2. \(n+1\) 位格雷码的前 \(2^n\) 个二进制串,可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码(总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串)按 顺序 排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。
  3. \(n+1\) 位格雷码的后 \(2^n\) 个二进制串,可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码(总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串)按 逆序 排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上,\(n+1\) 位格雷码,由 \(n\) 位格雷码的 \(2^n\) 个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 \(2^{n+1}\) 个二进制串。另外,对于 \(n\) 位格雷码中的 \(2^n\) 个 二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 \(0\sim 2^n-1\) 编号。

按该算法,\(2\) 位格雷码可以这样推出:

  1. 已知 \(1\) 位格雷码为 01
  2. 前两个格雷码为 0001。后两个格雷码为 1110。合并得到 00011110,编号依次为 \(0\sim 3\)。

同理,\(3\) 位格雷码可以这样推出:

  1. 已知 \(2\) 位格雷码为:00011110
  2. 前四个格雷码为:000001011010。后四个格雷码为:110111101100。合并得到:000001011010110111101100,编号依次为 \(0\sim 7\)。

现在给出 \(n\),\(k\),请你求出按上述算法生成的 \(n\) 位格雷码中的 \(k\) 号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 \(n\),\(k\),意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个 \(n\) 位二进制串表示答案。

样例

输入样例1

2 3

输出样例1

10

输入样例2

3 5

输出样例2

111

输入样例3

44 1145141919810

输出样例3

00011000111111010000001001001000000001100011

样例解释

样例解释1

\(2\) 位格雷码为:00011110,编号从 \(0\sim 3\),因此 \(3\) 号串是 10

样例解释2

\(3\) 位格雷码为:000001011010110111101100,编号从 \(0\sim 7\),因此 \(5\) 号串是 111

数据规模与约定

对于 \(50\%\) 的数据,\(n\leq 10\)。

对于 \(80\%\) 的数据,\(k\leq 5\times 10^6\)。

对于 \(95\%\) 的数据,\(k\leq 2^{63}-1\)。

对于 \(100\%\) 的数据,\(1\leq n\leq 64,0\leq k\leq 2^n\),时间限制 \(1~~\text{s}\),空间限制 \(256~~\text{MB}\)。

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