Background

为什么说本题是福利呢？因为这是一道非常直白的可持久化线段树的练习题，目的并不是虐人，而是指导你入门可持久化数据结构。

Description

线段树有个非常经典的应用是处理RMQ问题，即区间最大/最小值询问问题。现在我们把这个问题可持久化一下:
Q k l r 查询数列在第k个版本时，区间[l, r]上的最大值
M k p v 把数列在第k个版本时的第p个数修改为v，并产生一个新的数列版本
最开始会给你一个数列，作为第1个版本。每次M操作会导致产生一个新的版本。
修改操作可能会很多呢，如果每次都记录一个新的数列，空间和时间上都是令人无法承受的。
所以我们需要可持久化数据结构。
对于最开始的版本1，我们直接建立一颗线段树，维护区间最大值。
修改操作呢？我们发现，修改只会涉及从线段树树根到目标点上一条树链上logn个节点而已，其余的节点并不会受到影响。所以对于每次修改操作，我们可以只重建修改涉及的节点即可。
需要查询第k个版本的最大值，那就从第k个版本的树根开始，像查询普通的线段树一样查询即可。
要计算好所需空间哦。

Format

Input

第一行两个整数N, Q。N是数列的长度，Q表示询问数
第二行N个整数，是这个数列
之后Q行，每行以0或者1开头，0表示查询操作Q，1表示修改操作M，格式为
0 k l r 查询数列在第k个版本时，区间[l, r]上的最大值 或者
1 k p v 把数列在第k个版本时的第p个数修改为v，并产生一个新的数列版本

Output

对于每个M询问，输出正确答案

Sample 1

Input

4 5
1 2 3 4
0 1 1 4
1 1 3 5
0 2 1 3
0 2 4 4
0 1 2 4

Output

4
5
4
4

Limitation

1s, 262144KiB for each test case.

Hint

N <= 10000
Q <= 100000
对于每次询问操作的版本号k保证合法，区间[l, r]一定满足1 <= l <= r <= N
最后
他还有一个高贵冷艳的名字：主席树。 然后你A了就可以去装13了

什么是主席树

可持久化数据结构(Persistent data structure)就是利用函数式编程的思想使其支持询问历史版本、同时充分利用它们之间的共同数据来减少时间和空间消耗。
因此可持久化线段树也叫函数式线段树又叫主席树。

C++ Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <set>
#include <limits>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;

const int oo_min=0xcfcfcfcf,oo_max=0x3f3f3f3f;

int n,m,st_size,st_cnt;
int a[10000+1];
int st_t[1000000+1];
int st_l[1000000+1];
int st_r[1000000+1];
int st_mid[1000000+1];
int st_lc[1000000+1];
int st_rc[1000000+1];
int st_max[1000000+1];

void push_up_1(int now)
{
    st_max[now]=max(st_max[st_lc[now]],st_max[st_rc[now]]);
}

void build_st_1(int &now,int l,int r)
{
    if (now==0)
        now=++st_size;
    st_l[now]=l;
    st_r[now]=r;
    st_mid[now]=(l+r)/2;
    if (l==r)
        st_max[now]=a[l];
    else if (l<r)
    {
        if (l<=st_mid[now])
            build_st_1(st_lc[now],l,st_mid[now]);
        if (st_mid[now]+1<=r)
            build_st_1(st_rc[now],st_mid[now]+1,r);
        push_up_1(now);
    }
}

void copy_1(int now,int last)
{
    st_l[now]=st_l[last];
    st_r[now]=st_r[last];
    st_mid[now]=st_mid[last];
    st_lc[now]=st_lc[last];
    st_rc[now]=st_rc[last];
    st_max[now]=st_max[last];
}

void update_st_1(int &now,int last,int p,int d)
{
    now=++st_size;
    copy_1(now,last);
    if (st_l[now]==p&&p==st_r[now])
        st_max[now]=d;
    else
    {
        if (p<=st_mid[now])
            update_st_1(st_lc[now],st_lc[last],p,d);
        else if (st_mid[now]+1<=p)
            update_st_1(st_rc[now],st_rc[last],p,d);
        push_up_1(now);
    }
}

int sum_st_max_1(int now,int l,int r)
{
    if (now==0)
        return oo_min;
    else if (st_l[now]==l&&r==st_r[now])
        return st_max[now];
    else if (r<=st_mid[now])
        return sum_st_max_1(st_lc[now],l,r);
    else if (st_mid[now]+1<=l)
        return sum_st_max_1(st_rc[now],l,r);
    else
        return max(sum_st_max_1(st_lc[now],l,st_mid[now]),sum_st_max_1(st_rc[now],st_mid[now]+1,r));
}

int main()
{
    while (~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        st_size=st_cnt=0;
        memset(st_t,0,sizeof(st_t));
        memset(st_l,0,sizeof(st_l));
        memset(st_r,0,sizeof(st_r));
        memset(st_mid,0,sizeof(st_mid));
        memset(st_lc,0,sizeof(st_lc));
        memset(st_rc,0,sizeof(st_rc));
        memset(st_max,0,sizeof(st_max));
        build_st_1(st_t[++st_cnt],1,n);
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            int o,v,l,r,d;
            scanf("%d%d",&o,&v);
            if (o==0)
            {
                scanf("%d%d",&l,&r);
                printf("%d\n",sum_st_max_1(st_t[v],l,r));
            }
            else if (o==1)
            {
                scanf("%d%d",&l,&d);
                update_st_1(st_t[++st_cnt],st_t[v],l,d);
            }
        }
    }
}

Source

Vijos Original