填数游戏
题目描述
小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。
这个填数游戏的棋盘是一个 \(n\times m\) 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 \(0\) 或者数字 \(1\)),填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。
为了方便描述,我们先给出一些定义:
- 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即 \((x,y)\),其中,\(x\) 为行坐标,\(y\) 为列坐标。(注意:行列坐标均从 \(0\) 开始编号);
- 合法路径 \(P\):当且仅当一条路径满足以下两个条件时,该路径是合法的:
- 这条路径从矩形表格的左上角的格子 \((0,0)\) 出发,到矩形的右下角格子 \((n-1,m-1)\) 结束;
- 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是 \(P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)\)。
对于一条合法的路径 \(P\),我们可以用一个字符串 \(w(P)\) 来表示,该字符串的长度为 \(n+m-2\),其中只包含字符 R
或者字符 D
,第 \(i\) 个字符记录了路径 \(P\) 中第 \(i\) 步的移动方法,R
表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,D
表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 \(P_1\),有 \(w(P_1)=\texttt{RD}\);而对于另一条路径 \(P_2\),有 \(w(P_2)=\texttt{DR}\)。
同时,将每条合法路径 \(P\) 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为 \(n+m-1\) 的 \(01\) 字符串,记为 \(s(P)\)。例如,如果我们在格子 \((0,0)\) 和 \((1,0)\) 上填入数字 \(0\),在格子 \((0,1)\) 和 \((1,1)\) 上填入数字 \(1\)(见上图红色数字)。那么对于路径 \(P_1\),我们可以得到 \(s(P_1)=\texttt{011}\),对于路径 \(P_2\),有 \(s(P_2)=\texttt{001}\)。
游戏要求小 D 找到一种填数字 \(0,1\) 的方法,使得对于两条路径 \(P_1,P_2\),如果 \(w(P_1)\gt w(P_2)\),那么必须 \(s(P_1)\le s(P_2)\)。我们说 字符串 \(a\) 比字符串 \(b\) 小,当且仅当字符串 \(a\) 的字典序小于字符串 \(b\) 的字典序,字典序的定义详见第 1 题:旅行。但是仅仅是找 \(1\) 种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道 这个游戏有多少种玩法,也就是说, 有多少种填数字的方法满足游戏的要求?
小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 \(0,1\) 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。
输入格式
输入文件共一行,包含两个正整数 \(n,m\),由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 \(n\) 表示矩形表格的行数,\(m\) 表示矩形表格的列数。
输出格式
输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 \(0,1\) 的方法能满足游戏的要求。
注意:输出答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。
样例
样例输入 1
2 2
样例输出 1
12
样例说明 1
对于 \(2\times 2\) 棋盘,有上图所示的 \(12\) 种填数方法满足要求。
样例输入 2
3 3
样例输出 2
112
样例输入 3
5 5
样例输出 3
7136
数据范围
测试点编号 | \(n\le\) | \(m\le\) |
---|---|---|
\(1\sim 4\) | \(3\) | \(3\) |
\(5\sim 10\) | \(2\) | \(10^6\) |
\(11\sim 13\) | \(3\) | \(10^6\) |
\(14\sim 16\) | \(8\) | \(8\) |
\(17\sim 20\) | \(8\) | \(10^6\) |
信息
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- 1003
- 难度
- 9
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- (无)
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