测试数据来自 oistream/1143

说明与提示

本题为笔试评测，具体评测方式请参考 7FOJ 笔试评测方式。

因为 Vijos 不支持浮点数测试点分值，因此本题所有小题分数均做 $\times 2$ 处理，本题满分为 $200$ 分，您的实际得分为本题得分 $\div 2$。

一、单项选择题

1.请选出以下最大的数（ ）

A.$(550)_{10}$

B. $( 777 )_8$

C. $2^{10}$

D. $( 22\text{F})_{16}$

2.操作系统的功能是（ ）。

A. 负责外设与主机之间的信息交换

B. 控制和管理计算机系统的各种硬件和软件资源的使用

C. 负责诊断机器的故障

D. 将源程序编译成目标程序

3.现有一段 $8$ 分钟的视频文件，它的播放速度是每秒 $24$ 帧图像，每帧图像是一幅分辨率为 $2048\times 1024$ 像素的 $32$ 位真彩色图像。请问要存储这段原始无压缩视频，需要多大的存储空间？（ ）。

A. $30~\text{G}$

B. $90~\text{G}$

C. $150~\text{G}$

D. $450~\text{G}$

4.今有一空栈 $S$，对下列待进栈的元素序列 $a,b,c,d,e,f$ 依次进行：进栈，进栈，出栈，进栈，进栈，出栈的操作，则此操作完成后，栈底元素为（ ）。

A. $b$

B. $a$

C. $d$

D. $c$

5.将 $(2,7,10,18)$ 分别存储到某个地址区间为 $0\sim 10$ 的哈希表中，如果哈希函数 $h(x)=$（ ），将 不会 产生冲突，其中 $a\mod b$ 表示 $a$ 除以 $b$ 的余数。

A. $x^2\mod 11$

B. $2\times x\mod 11$

C. $x\mod 11$

D. $\Big\lfloor\dfrac{x}{2}\Big\rfloor\mod 11$

6.下列哪些问题 不能 使用贪心法精确求解？（ ）

A. 霍夫曼编码问题

B. 0-1 背包问题

C. 最小生成树问题

D. 单源最短路径问题

7.具有 $n$ 个顶点，$e$ 条边的图采用邻接表存储结构，进行深度优先遍历运算的时间复杂度为（ ）。

A. $\Theta(n+e)$

B. $\Theta(n^2)$

C. $\Theta(e^2)$

D. $\Theta(n)$

8.二分图是指能将顶点划分成两个部分，每一部分内的顶点间没有边相连的简单无向图。那么， $24$ 个顶点的二分图 至多 有（ ）条边。

A. $144$

B. $100$

C. $48$

D. $122$

9.广度优先搜索时，一定需要用到的数据结构是（ ）。

A. 栈

B. 二叉树

C. 队列

D. 哈希表

10.一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多七人，每组七人就多四人，问这个班的学生人数 $n$ 在以下哪个区间？已知 $n\lt 60$。（ ）。

A. $30\lt n\lt 40$

B. $40\lt n\lt 50$

C. $50\lt n\lt 60$

D. $20\lt n\lt 30$

11.小明想通过走楼梯来锻炼身体，假设从第 $1$ 层走到第 $2$ 层消耗 $10$ 卡热量，接着从第 $2$ 层走到第 $3$ 层消耗 $20$ 卡热量，再从第 $3$ 层走到第 $4$ 层消耗 $30$ 卡热量，依此类推，从第 $k$ 层走到第 $k+1$ 层消耗 $10\times k$ 卡热量 $(k\gt 1)$。如果小明想从 $1$ 层开始，通过连续向上爬楼梯消耗 $1000$ 卡热量，**至少** 要爬到第几层楼？（ ）。

A. $14$

B. $16$

C. $15$

D. $13$

12.表达式 a*(b+c)-d 的后缀表达形式为（ ）。

A. abc*+d-

B. -+*abcd

C. abcd*+-

D. abc+*d-

13.从一个 $4\times 4$ 的棋盘中选取不在同一行也不在同一列上的两个方格，共有（ ）种方法。

A. $60$

B. $72$

C. $86$

D. $64$

14.对一个 $n$ 个顶点、$m$ 条边的带权有向简单图用 $\text{Dijkstra}$ 算法计算单源最短路时，如果不使用堆或其它优先队列进行优化，则其时间复杂度为（ ）。

A. $\Theta\big((m+n^2)\log n\big)$

B. $\Theta(mn+n^3)$

C. $\Theta\big((m+n)\log n\big)$

D. $\Theta(n^2)$

15.$1948$ 年，（ ）将热力学中的熵引入信息通信领域，标志着信息论研究的开端。

A. 欧拉（$\text{Leonhard Euler}$）

B. 冯 · 诺依曼（$\text{John von Neumann}$）

C. 克劳德 · 香农（$\text{Claude Shannon}$）

D. 图灵（$\text{Alan Turing}$）

二、阅读程序

1.

#include <iostream>
using namespace std;

int n;
int d[1000];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> d[i];
    int ans = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j) // 第 13 行
            if (d[i] < d[j]) // 第 14 行
                ans = max(ans, d[i] + d[j] - (d[i] & d[j]));
    cout << ans;
    return 0;
}

假设输入的 $n$ 和 $d_i$ 都是不超过 $10000$ 的正整数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

(1) $n$ 必须小于 $1000$，否则程序 可能 会发生运行错误。（ ）

(2) 输出 一定 大于等于 $0$。（ ）

(3) 若将第 $13$ 行的 j = 0 改为 j = i + 1 ，程序输出 可能 会改变。（ ）

(4) 将第 $14$ 行的 d[i] < d[j] 改为 d[i] != d[j] ，程序输出 不会 改变。（ ）

单选题

(5) 若输入 $n$ 为 $100$，且输出为 $127$ ，则输入的 $d_i$ 中不可能有（ ）。

A. $127$

B. $126$

C. $128$

D. $125$

(6) 若输出的数大于 $0$，则下面说法 正确 的是（ ）。

A. 若输出为偶数，则输入的 $d_i$ 中 最多 有两个偶数。

B. 若输出为奇数，则输入的 $d_i$ 中 至少 有两个奇数。

C. 若输出为偶数，则输入的 $d_i$ 中 至少 有两个偶数。

D. 若输出为奇数，则输入的 $d_i$ 中 最多 有两个奇数。

2.

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int n;
int d[10000];

int find(int L, int R, int k) {
    int x = rand() % (R - L + 1) + L; // 第 9 行
    swap(d[L], d[x]);
    int a = L + 1, b = R;
    while (a < b) {
        while (a < b && d[a] < d[L])
            ++a;
        while (a < b && d[b] >= d[L])
            --b;
        swap(d[a], d[b]); // 第 17 行
    }
    if (d[a] < d[L]) // 第 19 行
        ++a;
    if(a - L == k)
        return d[L];
    if(a - L < k)
        return find(a, R, k - (a - L));
    return find(L + 1, a - 1, k);
}

int main() {
    int k;
    cin >> n;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> d[i];
    cout << find(0, n - 1, k);
    return 0;
}

假设输入的 $n, k$ 和 $d_i$ 都是不超过 $10000$ 的正整数，且 $k$ 不超过 $n$，并假设 rand() 函数产生的是均匀的随机数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

(1) 第 $9$ 行的 $x$ 的数值范围是 $L+1$ 到 $R$，即 $[L+1,R]$。（ ）

(2) 将第 $19$ 行的 d[a] 改为 d[b]，程序 不会 发生运行错误。（ ）

单选题

(3) （$2.5$ 分） 当输入的 $d_i$ 是严格 单调递增 序列时，第 $17$ 行的 swap 的平均执行次数是（ ）。

A. $\Theta(n\log n)$

B. $\Theta(n)$

C. $\Theta (\log n)$

D. $\Theta (n^2)$

(4) （$2.5$ 分） 当输入的 $d_i$ 是严格 单调递减 序列时，第 $17$ 行的 swap 平均执行次数是（ ）。

A. $\Theta(n^2)$

B. $\Theta(n)$

C. $\Theta(n\log n)$

D. $\Theta(\log n)$

(5) （$2.5$ 分） 若输入的 $d_i$ 为 $i$，此程序 ① 平均时间复杂度 和 ② 最坏情况下的时间复杂度 分别是（ ）。

A. $\Theta(n)\quad\Theta(n^2)$

B. $\Theta(n)\quad\Theta(n\log n)$

C. $\Theta(n\log n)\quad\Theta(n^2)$

D. $\Theta(n\log n)\quad\Theta(n\log n)$

(6) （$2.5$ 分） 若输入的 $d_i$ 都为同一个数，此程序平均的时间复杂度是（ ）。

A. $\Theta(n)$

B. $\Theta(\log n)$

C. $\Theta(n\log n)$

D. $\Theta(n^2)$

3.

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

const int maxl = 2000000000;

class Map {
        struct item {
            string key; int value;
        } d[maxl];
        int cnt;
    public:
        int find(string x) {
            for (int i = 0; i < cnt; ++i)
                if (d[i].key == x)
                    return d[i].value;
            return -1;
        }
        static int end() { return -1; }
        void insert(string k, int v) {
            d[cnt].key = k; d[cnt++].value = v;
        }
} s[2];

class Queue {
        string q[maxl];
        int head, tail;
    public:
        void pop() { ++head; }
        string front() { return q[head + 1]; }
        bool empty() { return head == tail; }
        void push(string x) { q[++tail] = x; }
} q[2];

string st0, st1;
int m;

string LtoR(string s, int L, int R) {
    string t = s;
    char tmp = t[L];
    for (int i = L; i < R; ++i)
        t[i] = t[i + 1];
    t[R] = tmp;
    return tmp;
}

string RtoL(string s, int L, int R) {
    string t = s;
    char tmp = t[R];
    for (int i = R; i > L; --i)
        t[i] = t[i - 1];
    t[L] = tmp;
    return t;
}

bool check(string st, int p, int step) {
    if (s[p].find(st) != s[p].end())
        return false;
    ++step;
    if (s[p ^ 1].find(st) == s[p].end()) {
        s[p].insert(st, step);
        q[p].push(st);
        return false;
    }
    cout << s[p ^ 1].find(st) + step << endl;
    return true;
}

int main() {
    cin >> st0 >> st1;
    int len = st0.length();
    if (len != st1.length()) {
        cout << -1 << endl;
        return 0;
    }
    if (st0 == st1) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    cin >> m;
    s[0].insert(st0, 0); s[1].insert(st1, 0);
    q[0].push(st0); q[1].push(st1);
    for (int p = 0;
        !(q[0].empty() && q[1].empty()); 
        p ^= 1) {
        string st = q[p].front(); q[p].pop();
        int step = s[p].find(st);
        if ((p == 0 &&
                (check(LtoR(st, m, len - 1), p, step) || 
                 check(RtoL(st, 0, m), p, step)))
                     ||
            (p == 1 &&
                (check(LtoR(st, 0, m), p, step) ||
                 check(RtoL(st, m, len - 1), p, step))))
            return 0;
    }
    cout << -1 << endl;
    return 0;
}

判断题

(1) 输出 可能 为 $0$。（ ）

(2) 若输出的两个字符串长度均为 $101$ 时，则 $m=0$ 时的输出与 $m=100$ 时的输出是一样的。（ ）

(3) 若两个字符串的长度均为 $n$ ，则最坏情况下，此程序的时间复杂度为 $\Theta(n!)$。（ ）

单选题

(4) （$2.5$ 分） 若输入的第一个字符串长度由 $100$ 个不同的字符构成，第二个字符串是第一个字符串的倒序，输入的 $m$ 为 $0$，则输出为（ ）。

A. $49$

B. $50$

C. $100$

D. $-1$

(5) （$4$ 分） 已知当输入为 0123\n3210\n1 时输出为 $4$，当输入为 012345\n543210\n1 时输出为 $14$，当输入为 01234567\n76543210\n1 时输出为 $28$，则当输入为 0123456789ab\bba9876543210\n1 时输出为（ ）。其中 \n 为换行符。

A. $56$

B. $84$

C. $102$

D. $68$

(6) （$4$ 分） 若两个字符串的长度均为 $n$，且 $0\lt m\lt n-1$，且两个字符串的构成相同（即任何一个字符在两个字符串中出现的次数均相同），则下列说法 正确 的是（ ）。提示：考虑输入与输出有多少对字符前后顺序不一样。

A. 若 $n,m$ 均为奇数，则输出 可能 小于 $0$。

B. 若 $n,m$ 均为偶数，则输出 可能 小于 $0$。

C. 若 $n$ 为奇数、$m$ 为偶数，则输出 可能 小于 $0$。

D. 若 $n$ 为偶数、$m$ 为奇数，则输出 可能 小于 $0$。

三、完善程序

1.**分数背包** · 小 $\text{S}$ 有 $n$ 块蛋糕，编号从 $1$ 到 $n$ 。第 $i$ 块蛋糕的价值是 $w_i$ ，体积是 $v_i$。他有一个大小为 $B$ 的盒子来装这些蛋糕，也就是说装入盒子的蛋糕的体积总和不能超过 $B$。

他打算选择一些蛋糕装入盒子，他希望盒子里装的蛋糕的价值之和尽量大。

为了使盒子里的蛋糕价值之和更大，他可以任意切割蛋糕。具体来说，他可以选择一个 $\alpha~(0\lt \alpha\lt 1)$ ，并加一块价值是 $w$，体积为 $v$ 的蛋糕切割成两块，其中一块的价值是 $\alpha\times w$，体积是 $\alpha\times v$，另一块的价值是 $(1-\alpha)\times w$，体积是 $(1-\alpha)\times v$。他可以重复无限次切割操作。

现要求编程输出最大可能的价值，以分数的形式输出。

比如 $n=3,B=8$，三块蛋糕的价值分别是 $4$、$4$、$2$，体积分别是 $5$、$3$、$2$。那么最优的方案就是将体积为 $5$ 的蛋糕切成两份，一份体积是 $3$，价值是 $2.4$，另一份体积是 $2$，价值是 $1.6$，然后把体积是 $3$ 的那部分和后两块蛋糕打包进盒子。最优的价值之和是 $8.4$，故程序输出 42/5。

输入的数据范围为：$1\leq n\leq 1000$，$1\leq B\leq 10^5$，$1\leq w_i,v_i\leq 100$。

提示：将所有的蛋糕按照性价比 $\dfrac{w_i}{v_i}$ 排序后进行贪心选择。

试补全程序。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn = 1005;

int n, B, w[maxn], v[maxn];

int gcd(int u, int v) {
    if(v == 0)
        return u;
    return gcd(v, u % v);
}

void print(int w, int v) {
    int d = gcd(w, v);
    w = w / d;
    v = v / d;
    if(v == 1)
        printf("%d\n", w);
    else
        printf("%d/%d\n", w, v);
}

void swap(int &x, int &y) {
    int t = x; x = y; y = t;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &B);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }
    for(int i = 1; i < n; i ++)
        for(int j = 1; j < n; j ++)
            if(①) {
                swap(w[j], w[j + 1]);
                seap(v[j], v[j + 1]);
            }
    int curV, curW;
    if(②) {
        ③ 
    } else {
        print(B * w[1], v[1]);
        return 0;
    }
    
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
        if(curV + v[1] <= B) {
            curV += v[i];
            curW += w[i]; 
        } else {
            print(④);
            return 0;
        }
    print(⑤);
    return 0;
}

(1) ① 处应填（ ）。

A. w[j] / v[j] < w[j + 1] / v[j + 1]

B. w[j] / v[j] > w[j + 1] / v[j + 1]

C. v[j] * w[j + 1] < v[j + 1] * w[j]

D. w[j] * v[j + 1] < w[j + 1] * v[j]

(2) ② 处应填（ ）。

A. w[1] <= B

B. v[1] <= B

C. w[1] >= B

D. v[1] >= B

(3) ③ 处应填（ ）。

A. print(v[1], w[1]); return 0;

B. curV = 0; curW = 0;

C. print(w[1], v[1]); return 0;

D. curV = v[1]; curW = w[1];

(4) ④ 处应填（ ）。

A. curW * v[i] + curV * w[i], v[i]

B. (curW - w[i]) * v[i] + (B - curV) * w[i], v[i]

C. curW + v[i], w[i]

D. curW * v[i] + (B - curV) * w[i], v[i]

(5) ⑤ 处应填（ ）。

A. curW, curV

B. curW, 1

C. curV, curW

D. curV, 1

2.**最优子序列** · 取 $m=16$，给出长度为 $n$ 的整数序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n~(0\leq a_i\lt 2^m)$。对于一个二进制数 $x$，定义其分值 $w(x)$ 为 $x+\text{popcnt}(x)$，其中 $\text{popcnt}(x)$ 表示 $x$ 二进制表示中 $1$ 的个数。对于一个子序列 $b_1,b_2,\cdots,b_k$，定义其子序列分值 $S$ 为 $w(b_1\oplus b_2)+w(b_2\oplus b_3)+w(b_3\oplus b_4)+\cdots+w(b_{k-1}\oplus b_k)$。其中 $\oplus$ 表示按位异或。对于空子序列，规定其子序列分值为 $0$。求一个子序列使得其子序列分值最大，输出这个最大值。

输入第一行包含一个整数 $n~(1\leq n\leq 40000)$。接下来一行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$。

提示：考虑优化朴素的动态规划算法，将前 $\dfrac{m}{2}$ 位和后 $\dfrac{m}{2}$ 位分开计算。

$\text{Max}_{x,y}$ 表示当前的子序列下一个位置的高 $8$ 位是 $x$、最后一个位置的低 $8$ 位是 $y$ 时的最大价值。

试补全程序。

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 40000, M = 16, B = M >> 1, MS = (1 << B) - 1;
const LL INF = 1000000000000000LL;
LL Max[MS + 4][MS + 4];

int w(int x)
{
    int s = x;
    while (x)
    {
        ①;
        s++; 
    }
    return s;
}

void to_max(LL &x, LL y)
{
    if (x < y)
        x = y;
}

int main()
{
    int n;
    LL ans = 0;
    cin >> n;
    for (int x = 0; x <= MS; x++)
        for(int y = 0; y <= MS; y++)
            Max[x][y] = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        LL a;
        cin >> a;
        int x = ②, y = a & MS;
        LL v = ③;
        for (int z = 0; z <= MS; z++)
            to_max(v, ④);
        for (int z = 0; z <= MS; z++)
            ⑤;
        to_max(ans, v); 
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

(1) ① 处应填（ ）。

A. x >>= 1

B. x ^= x & (x ^ (x + 1))

C. x -= x | -x

D. x ^= x & (x ^ (x - 1))

(2) ② 处应填（ ）。

A. (a & MS) << B

B. a >> B

C. a & (1 << B)

D. a & (MS << B)

(3) ③ 处应填（ ）。

A. -INF

B. Max[y][x]

C. 0

D. Max[x][y]

(4) ④ 处应填（ ）。

A. Max[x][z] + w(y ^ z)

B. Max[x][z] + w(a ^ z)

C. Max[x][z] + w(x ^ (z << B))

D. Max[x][z] + w(x ^ z)

(5) ⑤ 处应填（ ）。

A. to_max(Max[y][z], v + w(a ^ (z << B)))

B. to_max(Max[z][y], v + w((x ^ z) << B)

C. to_max(Max[z][y], v + w(a ^ (z << B)))

D. to_max(Max[x][z], v + w(y ^ z))